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数学で音学してみましょう!・・・杉浦
投稿日時: 2018-12-04 17:28:09(25 ヒット)
こんにちは。
すっかりもう12月。
クリスマスが近づいてきてますね。街を歩けば、クリスマスの曲がたくさん聞こえてきます。
そこで今日は、「音楽」の中に隠れる数学について紹介したいと思います!
音楽を音学していきましょう!!

私たちは普段、ドとレ、レとミの音程の感覚を同じように感じています。
もっと細かく見ていくと、
平均律(詳しくはあとでお話しします)に調律された鍵盤で、ド、ド♯(ドの右隣にある黒鍵)、レ(ド♯の右隣にある白鍵)、…と順番にひくと、階段を登るように均一に音が高くなっていくと感じると思います。

これに従うと、現代のピアノは(ハ長調、平均律で)
ドの白鍵:261.62Hz
ド♯の黒鍵:277.18Hz
レの白鍵:293.66Hz
レ♯の黒鍵:311.12Hz
というように音の周波数がしだいに大きくなっていきます。

先ほども述べましたが、私たちは半音という音程の差を均一と感じています。
しかし、実際の数値を見てみると、

ドとド♯の周波数差は15.56Hz
ド♯とレの周波数差は16.48Hz
レとレ♯の周波数差は17.46Hz

と、周波数差は均一ではなく、音が高くなるのとともにしだいに大きくなっています。

さて、高校数学の数学B(現高校2年生以上の過程)では、この数字を並べたときの関係を数列という単元で扱っていますね。
さっきの例を踏まえると、この数列は等差数列ではなさそうです。

等差数列でないわけですので、次に身近なところで等比数列であるかを確かめてみましょう。

隣り合う音の周波数比を計算すると、
277.18÷261.62≒1.0594
293.66÷277.18≒1.0594
311.12×293.66≒1.0594
と、みごとに一致します。

なんと、ドレミ…の周波数は公比1.0594の等比数列をつくっていたのです。
このことから、私たちの音の高さに対する感覚は「差」の感覚ではなく、「比」の感覚であることを意味しています。

さて、最後にこの1.0594という数字が何者なのか考えましょう。
物理を学んでいるみなさんはお気づきだと思いますが、ドに対して、1オクターブ上のドの音は2倍音なので、振動数も2倍になります。

つまり、261.62Hzのドに対して、
1オクターブ上のドは523.24Hzになります。
1オクターブは半音12個分の距離なので、
1.0594=Xとおくと、

261.62×X^12=261.62

となります。
両辺を261.62で割って
X^12=2
X=2の12乗根 (Xを12回かけたら2になる)
と分かるので、先ほどの1.0594の正体は
2の12乗根だということが分かります。

合唱コンクールで隣の男子の音程が「半音低い!」と思ったあなた!
すかさず「その音の周波数を2の12乗根倍して!」と言ってあげましょう。
きっとその男子があなたの話を聞き流すことはないでしょうね。

さて、次回は「そもそもなぜ1オクターブの音階には音程が12個しかないのか」についてお話ししたいと思います。
そこには、小学生でも知っているあの有名な数学者が絡んでくるとか。
それではまた!

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